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35 , 设V1={x=[x1x2⋮xn]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ x_{n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack | x1 , x2 , ⋯ , xn属于R，且x1 + x2 + ⋯ + xn=0}

V2={x=[x1x2⋮xn]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ x_{n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack |x1 , x2 , ⋯ , xn属于R，且x1 + x2 + ⋯ + xn=1}

问V1 , V2是不是向量空间?为什么?

解:

1.判断V1V_{1}：

验证向量空间的条件（对加法和数乘封闭）：

加法封闭性：

设𝒖,𝒗∈V1\mathbf{u},\mathbf{v} \in V_{1}，即u1+u2+⋯+un=0u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{n} = 0和v1+v2+⋯+vn=0v_{1} + v_{2} + \cdots + v_{n} = 0。

则𝒖+𝒗=[u1+v1u2+v2⋮un+vn]\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_{1} + v_{1} \\ u_{2} + v_{2} \\ \vdots \\ u_{n} + v_{n} \end{bmatrix}，

其分量和为(u1+v1)+(u2+v2)+⋯+(un+vn)(u_{1} + v_{1}) + (u_{2} + v_{2}) + \cdots + (u_{n} + v_{n})

=(u1+⋯+un)+(v1+⋯+vn)=0+0=0= (u_{1} + \cdots + u_{n}) + (v_{1} + \cdots + v_{n}) = 0 + 0 = 0

所以𝒖+𝒗∈V1\mathbf{u} + \mathbf{v} \in V_{1}。

数乘封闭性：设𝒖∈V1\mathbf{u} \in V_{1}，k∈ℝk \in \mathbb{R}，则k𝒖=[ku1ku2⋮kun]k\mathbf{u} = \begin{bmatrix} ku_{1} \\ ku_{2} \\ \vdots \\ ku_{n} \end{bmatrix}，

其分量和为ku1+ku2+⋯+kun=k(u1+u2+⋯+un)=k⋅0=0ku_{1} + ku_{2} + \cdots + ku_{n} = k(u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{n}) = k \cdot 0 = 0，

所以k𝒖∈V1k\mathbf{u} \in V_{1}。

零向量：零向量𝟎=[00⋮0]\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}满足0+0+⋯+0=00 + 0 + \cdots + 0 = 0，故𝟎∈V1\mathbf{0} \in V_{1}。

其他向量空间公理（如结合律、交换律等）自然满足

（因为V1V_{1}是ℝn\mathbb{R}^{n}的子集，且运算与ℝn\mathbb{R}^{n}一致）。

因此，V1V_{1}是向量空间（实际上是ℝn\mathbb{R}^{n}的子空间）。

2.判断V2V_{2}：

验证向量空间的条件之一：加法封闭性。

设u,v∈V2u,v \in V_{2}，

即u的分量和u1+u2+⋯+un=1u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{n} = 1，v的分量和v1+v2+⋯+vn=1v_{1} + v_{2} + \cdots + v_{n} = 1。

则f=u+v=[u1+v1u2+v2⋮un+vn]u + v = \begin{bmatrix} u_{1} + v_{1} \\ u_{2} + v_{2} \\ \vdots \\ u_{n} + v_{n} \end{bmatrix}，

f 的分量和为(u1+v1)+(u2+v2)+⋯+(un+vn)(u_{1} + v_{1}) + (u_{2} + v_{2}) + \cdots + (u_{n} + v_{n})

=(u1+⋯+un)+(v1+⋯+vn)=1+1=2= (u_{1} + \cdots + u_{n}) + (v_{1} + \cdots + v_{n}) = 1 + 1 = 2

所以f∉V2f \notin V_{2}。

V2V_{2}中任一向量的分量和应该等于1，而这里算出某向量的分量和为2。

因此，V2V_{2}不是向量空间。

36 , 由a1=[1100]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack, a2=[1011]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack所生成的向量空间记作L1

由b1=[2−133]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack , b2=[01−1−1]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack所生成的向量空间记作L2

试证L1=L2

证:

要证明L1=L2L_{1} = L_{2}，

即证明由𝒂1,𝒂2\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}生成的向量空间与由𝒃1,𝒃2\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}生成的向量空间相等。

这等价于证明：

1. 𝒂1,𝒂2\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}与𝒃1,𝒃2\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}等价（即可以互相线性表示）；

2. 或者直接证明span{𝒂1,𝒂2}=span{𝒃1,𝒃2}span\{\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}\} = span\{\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}\}。

步骤1：将向量写为列向量形式：

𝒂1=[1100],𝒂2=[1011],𝒃1=[2−133],𝒃2=[01−1−1].\mathbf{a}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\quad\mathbf{a}_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\quad\mathbf{b}_{1} = \begin{bmatrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix},\quad\mathbf{b}_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{bmatrix}.

步骤2：证明𝒃1,𝒃2\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}可由𝒂1,𝒂2\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}线性表示：

即存在实数k11,k12,k21,k22k_{11},k_{12},k_{21},k_{22}，使得：{𝒃1=k11𝒂1+k12𝒂2,𝒃2=k21𝒂1+k22𝒂2.\left\{ \begin{matrix} \mathbf{b}_{1} = k_{11}\mathbf{a}_{1} + k_{12}\mathbf{a}_{2}, \\ \mathbf{b}_{2} = k_{21}\mathbf{a}_{1} + k_{22}\mathbf{a}_{2}. \end{matrix} \right.\

对于𝒃1\mathbf{b}_{1}：k11[1100]+k12[1011]=[k11+k12k11k12k12]=[2−133].k_{11}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + k_{12}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{11} + k_{12} \\ k_{11} \\ k_{12} \\ k_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix}.

解得：{k11+k12=2,k11=−1,k12=3,k12=3.\left\{ \begin{matrix} k_{11} + k_{12} = 2, \\ k_{11} = - 1, \\ k_{12} = 3, \\ k_{12} = 3. \end{matrix} \right.\

由k11=−1k_{11} = - 1和k12=3k_{12} = 3，代入第一式：−1+3=2- 1 + 3 = 2成立。

所以𝒃1=−1⋅𝒂1+3⋅𝒂2\mathbf{b}_{1} = - 1 \cdot \mathbf{a}_{1} + 3 \cdot \mathbf{a}_{2}.

对于𝒃2\mathbf{b}_{2}：k21[1100]+k22[1011]=[k21+k22k21k22k22]=[01−1−1].k_{21}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + k_{22}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{21} + k_{22} \\ k_{21} \\ k_{22} \\ k_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{bmatrix}.

解得：{k21+k22=0,k21=1,k22=−1,k22=−1.\left\{ \begin{matrix} k_{21} + k_{22} = 0, \\ k_{21} = 1, \\ k_{22} = - 1, \\ k_{22} = - 1. \end{matrix} \right.\

由k21=1k_{21} = 1和k22=−1k_{22} = - 1，代入第一式：1+(−1)=01 + ( - 1) = 0成立。

所以𝒃2=1⋅𝒂1−1⋅𝒂2\mathbf{b}_{2} = 1 \cdot \mathbf{a}_{1} - 1 \cdot \mathbf{a}_{2}.

因此，𝒃1,𝒃2\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}可由𝒂1,𝒂2\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}线性表示。

步骤3：证明𝒂1,𝒂2\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}可由𝒃1,𝒃2\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}线性表示：

即存在实数l11,l12,l21,l22l_{11},l_{12},l_{21},l_{22}，使得：{𝒂1=l11𝒃1+l12𝒃2,𝒂2=l21𝒃1+l22𝒃2.\left\{ \begin{matrix} \mathbf{a}_{1} = l_{11}\mathbf{b}_{1} + l_{12}\mathbf{b}_{2}, \\ \mathbf{a}_{2} = l_{21}\mathbf{b}_{1} + l_{22}\mathbf{b}_{2}. \end{matrix} \right.\

对于𝒂1\mathbf{a}_{1}：l11[2−133]+l12[01−1−1]=[2l11−l11+l123l11−l123l11−l12]=[1100].l_{11}\begin{bmatrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix} + l_{12}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2l_{11} \\ - l_{11} + l_{12} \\ 3l_{11} - l_{12} \\ 3l_{11} - l_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.

解得：{2l11=1,−l11+l12=1,3l11−l12=0,3l11−l12=0.\left\{ \begin{matrix} 2l_{11} = 1, \\ - l_{11} + l_{12} = 1, \\ 3l_{11} - l_{12} = 0, \\ 3l_{11} - l_{12} = 0. \end{matrix} \right.\

由第一式：l11=12l_{11} = \frac{1}{2}；代入第二式：−12+l12=1⇒l12=32- \frac{1}{2} + l_{12} = 1 \Rightarrow l_{12} = \frac{3}{2}；

代入第三式：3⋅12−32=32−32=03 \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0，成立。

所以𝒂1=12𝒃1+32𝒃2\mathbf{a}_{1} = \frac{1}{2}\mathbf{b}_{1} + \frac{3}{2}\mathbf{b}_{2}.

对于𝒂2\mathbf{a}_{2}：l21[2−133]+l22[01−1−1]=[2l21−l21+l223l21−l223l21−l22]=[1011].l_{21}\begin{bmatrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix} + l_{22}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2l_{21} \\ - l_{21} + l_{22} \\ 3l_{21} - l_{22} \\ 3l_{21} - l_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}.

解得：{2l21=1,−l21+l22=0,3l21−l22=1,3l21−l22=1.\left\{ \begin{matrix} 2l_{21} = 1, \\ - l_{21} + l_{22} = 0, \\ 3l_{21} - l_{22} = 1, \\ 3l_{21} - l_{22} = 1. \end{matrix} \right.\

由第一式：l21=12l_{21} = \frac{1}{2}；代入第二式：−12+l22=0⇒l22=12- \frac{1}{2} + l_{22} = 0 \Rightarrow l_{22} = \frac{1}{2}；

代入第三式：3⋅12−12=32−12=13 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1，成立。

所以𝒂2=12𝒃1+12𝒃2\mathbf{a}_{2} = \frac{1}{2}\mathbf{b}_{1} + \frac{1}{2}\mathbf{b}_{2}.

因此，𝒂1,𝒂2\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}可由𝒃1,𝒃2\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}线性表示。

步骤4：结论

由于𝒂1,𝒂2\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}与𝒃1,𝒃2\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}可以互相线性表示，故它们等价，

且生成相同的向量空间，即L1=L2L_{1} = L_{2}.

37 ,验证向量组 𝒂1=(1−10)\mathbf{a}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{pmatrix}, 𝒂2=(213)\mathbf{a}_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, 𝒂3=(312)\mathbf{a}_{3} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} 是 ℝ3\mathbb{R}^{3} 的一个基，

并将向量 𝒗1=(507)\mathbf{v}_{1} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}, 𝒗2=(−9−8−13)\mathbf{v}_{2} = \begin{pmatrix} - 9 \\ - 8 \\ - 13 \end{pmatrix} 用该基线性表示。

解:

1.验证𝒂1,𝒂2,𝒂3\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3}是ℝ3\mathbb{R}^{3}的基

要证明它们是基，需证明：

它们线性无关；

它们张成ℝ3\mathbb{R}^{3}（即任意ℝ3\mathbb{R}^{3}中的向量可被线性表示）。

(1)线性无关性

设k1𝒂1+k2𝒂2+k3𝒂3=𝟎k_{1}\mathbf{a}_{1} + k_{2}\mathbf{a}_{2} + k_{3}\mathbf{a}_{3} = \mathbf{0}，即：k1(1−10)+k2(213)+k3(312)=(000)k_{1}\begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_{2}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + k_{3}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

得到方程组：{k1+2k2+3k3=0(1)−k1+k2+k3=0(2)0k1+3k2+2k3=0(3)\left\{ \begin{matrix} k_{1} + 2k_{2} + 3k_{3} = 0\quad(1) \\ - k_{1} + k_{2} + k_{3} = 0\quad(2) \\ 0k_{1} + 3k_{2} + 2k_{3} = 0\quad(3) \end{matrix} \right.\

得k1=0k_{1} = 0，k2=0k_{2} = 0，k3=0k_{3} = 0

所以k1=k2=k3=0k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0，故线性无关。

(2)张成ℝ3\mathbb{R}^{3}

由于ℝ3\mathbb{R}^{3}是3维空间，而𝒂1,𝒂2,𝒂3\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3}是3个线性无关的向量，

因此它们张成ℝ3\mathbb{R}^{3}（线性无关的n个向量在n维空间中必是基）。

2.将𝒗1\mathbf{v}_{1}用基线性表示

设𝒗1=x1𝒂1+x2𝒂2+x3𝒂3\mathbf{v}_{1} = x_{1}\mathbf{a}_{1} + x_{2}\mathbf{a}_{2} + x_{3}\mathbf{a}_{3}，即：(507)=x1(1−10)+x2(213)+x3(312)\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} = x_{1}\begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_{2}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + x_{3}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

得方程组：{x1+2x2+3x3=5−x1+x2+x3=03x2+2x3=7\left\{ \begin{matrix} x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 5\quad \\ - x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0\quad \\ 3x_{2} + 2x_{3} = 7\quad \end{matrix} \right.\

得x1=2x_{1} = 2，x2=3x_{2} = 3，x3=−1x_{3} = - 1

所以：𝒗1=2𝒂1+3𝒂2−𝒂3\mathbf{v}_{1} = 2\mathbf{a}_{1} + 3\mathbf{a}_{2} - \mathbf{a}_{3}

3.将𝒗2\mathbf{v}_{2}用基线性表示

设𝒗2=y1𝒂1+y2𝒂2+y3𝒂3\mathbf{v}_{2} = y_{1}\mathbf{a}_{1} + y_{2}\mathbf{a}_{2} + y_{3}\mathbf{a}_{3}，即：(−9−8−13)=y1(1−10)+y2(213)+y3(312)\begin{pmatrix} - 9 \\ - 8 \\ - 13 \end{pmatrix} = y_{1}\begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y_{2}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + y_{3}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

得方程组：{y1+2y2+3y3=−9−y1+y2+y3=−83y2+2y3=−13\left\{ \begin{matrix} y_{1} + 2y_{2} + 3y_{3} = - 9\quad \\ - y_{1} + y_{2} + y_{3} = - 8\quad \\ 3y_{2} + 2y_{3} = - 13\quad \end{matrix} \right.\

得y1=3y_{1} = 3，y2=−3y_{2} = - 3，y3=−2y_{3} = - 2

所以：𝒗2=3𝒂1−3𝒂2−2𝒂3\mathbf{v}_{2} = 3\mathbf{a}_{1} - 3\mathbf{a}_{2} - 2\mathbf{a}_{3}

38 , 已知R3的两个基为

旧基: a1=[111]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} , a2=[10−1]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{bmatrix} , a3=[101]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} ，新基: b1=[121]\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} , b2=[234]\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} , b3=[343]\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}

(1)求旧基到新基的由基变换系数构成的向量组

(2)设向量φ在旧基中的坐标为[113]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} , 求φ在新基中的坐标

解：设向量φ在旧基中的坐标为x=[x1x2x3]x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}，在新基中的坐标为y=[y1y2y3]y = \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix}。

(2)：对每个旧基向量αj\alpha_{j}有：αj=q1jβ1+q2jβ2+q3jβ3\alpha_{j} = q_{1j}\beta_{1} + {q_{2j}\beta}_{2} + q_{3j}\beta_{3} 。

α1\alpha_{1}=[111]=q11[121]+q21[234]+q31[343]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = q_{11}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{21}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} + q_{31}\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} ，得：q11=−12,q21=0,q31=12q_{11} = \frac{- 1}{2},\ q_{21} = 0,\ q_{31} = \frac{1}{2}

α2\alpha_{2}=[10−1]=q12[121]+q22[234]+q32[343]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{bmatrix} = q_{12}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{22}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} + q_{32}\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} ，得：q12=−32,q22=−1,q32=32q_{12} = \frac{- 3}{2},\ q_{22} = - 1,\ q_{32} = \frac{3}{2}

α3\alpha_{3}=[101]=q13[121]+q23[234]+q33[343]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = q_{13}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{23}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} + q_{33}\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}，得：q13=−2,q23=0,q33=1q_{13} = - 2,\ q_{23} = 0,\ q_{33} = 1

因此，由旧基坐标算出新基坐标，

[y1y2y3]=x1[q11q21q31]+x2[q12q22q32]+x3[q13q23q33]=x1[−12012]+x2[−32−132]+x3[−201]\begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix} = x_{1}\begin{bmatrix} q_{11} \\ q_{21} \\ q_{31} \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} q_{12} \\ q_{22} \\ q_{32} \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} q_{13} \\ q_{23} \\ q_{33} \end{bmatrix} = x_{1}\begin{bmatrix} \frac{- 1}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} \frac{- 3}{2} \\ - 1 \\ \frac{3}{2} \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

=1×[−12012]+1×[−32−132]+3×[−201]=[−8−15]= 1 \times \begin{bmatrix} \frac{- 1}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} + 1 \times \begin{bmatrix} \frac{- 3}{2} \\ - 1 \\ \frac{3}{2} \end{bmatrix} + 3 \times \begin{bmatrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 8 \\ - 1 \\ 5 \end{bmatrix}

(1)：对每个新基向量βj\beta_{j}有：βj=p1jα1+p2jα2+p3jα3\beta_{j} = p_{1j}\alpha_{1} + p_{2j}\alpha_{2} + p_{3j}\alpha_{3} 。

β1\beta_{1}=[121]=p11[111]+p21[10−1]+p31[101]\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = p_{11}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + p_{21}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{bmatrix} + p_{31}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} ，得：p11=2,p21=0,p31=−1p_{11} = 2,p_{21} = 0,p_{31} = - 1

β2\beta_{2}=[234]=p12[111]+p22[10−1]+p32[101]\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} = p_{12}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + p_{22}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{bmatrix} + p_{32}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} ，得：p12=3,p22=−1,p32=0p_{12} = 3\ ,\ p_{22} = - 1\ ,\ p_{32} = 0

β3\beta_{3}=[343]=p13[111]+p23[10−1]+p33[101]\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} = p_{13}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + p_{23}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{bmatrix} + p_{33}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} ，得：p13=4,p23=0,p33=−1p_{13} = 4,p_{23} = 0,p_{33} = - 1

因此，由新基坐标算出旧基坐标，

[x1x2x3]=y1[p11p21p31]+y2[p12p22p32]+y3[p13p23p33]=y1[20−1]+y2[3−10]+y3[40−1]\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = y_{1}\begin{bmatrix} p_{11} \\ p_{21} \\ p_{31} \end{bmatrix} + y_{2}\begin{bmatrix} p_{12} \\ p_{22} \\ p_{32} \end{bmatrix} + y_{3}\begin{bmatrix} p_{13} \\ p_{23} \\ p_{33} \end{bmatrix} = y_{1}\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{bmatrix} + y_{2}\begin{bmatrix} 3 \\ - 1 \\ 0 \end{bmatrix} + y_{3}\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ - 1 \end{bmatrix}

因此，基变换系数构成的向量组为：

[p11p21p31]=[20−1],[p12p22p32]=[3−10],[p13p23p33]=[40−1]\begin{bmatrix} p_{11} \\ p_{21} \\ p_{31} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix} p_{12} \\ p_{22} \\ p_{32} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ - 1 \\ 0 \end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix} p_{13} \\ p_{23} \\ p_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ - 1 \end{bmatrix}