12 , 设向量组B: b₁ , b₂ , ⋯ , b_r能由向量组A: a₁ , a₂ , ⋯ , a_s线性表示为

(b₁ , b₂ , ⋯ , b_r)=(a₁ , a₂ , ⋯ , a_s)K , 其中K为s×r矩阵 , 且A组线性无关

试证明向量组B线性无关的充要条件是矩阵K的秩R(K)=r

证:

先明确核心前提和定义

1.向量组线性无关的定义：

若存在一组常数$k_{1},k_{2},\ldots,k_{r}$，使得$k_{1}b_{1} + k_{2}b_{2} + \ldots + k_{r}b_{r} = 0$（零向量），

则只有$k_{1} = k_{2} = \ldots = k_{r} = 0$时等式成立，称B组线性无关。

2.矩阵乘法与向量组表示：

题目中$(b_{1},b_{2},\ldots,b_{r}) = (a_{1},a_{2},\ldots,a_{s})K$，其中$K$是$s \times r$矩阵。

我们可以把这个等式转化为“线性组合的矩阵形式”：

设列向量$x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{r} \end{pmatrix}$，则$x_{1}b_{1} + x_{2}b_{2} + \ldots + x_{r}b_{r} = (b_{1},b_{2},\ldots,b_{r})x$。

代入题目条件，得：$(a_{1},a_{2},\ldots,a_{s})Kx = 0$。

3.A组线性无关的关键性质：因为$a_{1},\ldots,a_{s}$线性无关，所以由$(a_{1},\ldots,a_{s})y = 0$

（$y$是$s$维列向量），只能推出$y = 0$。

第一步：证明必要性

目标：已知B组线性无关，证明矩阵$K$的秩等于其列数$r$

（因为$K$是$s \times r$矩阵，秩最大为$min(s,r)$，要证$R(K) = r$）。

证明过程：

1.假设存在$r$维列向量$x$，使得$Kx = 0$（即齐次线性方程组$Kx = 0$的解）。

2.两边左乘$(a_{1},\ldots,a_{s})$，得：$(a_{1},\ldots,a_{s})Kx = (a_{1},\ldots,a_{s})0 = 0$。

3.由题目条件，$(a_{1},\ldots,a_{s})K = (b_{1},\ldots,b_{r})$，因此上式可化为：$(b_{1},\ldots,b_{r})x = 0$。

4.因为B组线性无关，根据线性无关的定义，由$(b_{1},\ldots,b_{r})x = 0$只能推出$x = 0$。

5.这说明：齐次线性方程组$Kx = 0$只有零解。

6.回忆线性方程组的核心定理：对于$m \times n$矩阵$M$，

齐次方程组$Mx = 0$只有零解的充要条件是$R(M) = n$（秩等于列数）。

这里$K$是$s \times r$矩阵（$m = s,n = r$），所以$Kx = 0$只有零解⇒$R(K) = r$。

结论：必要性得证（B线性无关⇒R(K)=r）。

第二步：证明充分性

目标：已知矩阵$K$的秩$R(K) = r$，证明B组线性无关。

证明过程：

1.假设存在$r$维列向量$x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{r} \end{pmatrix}$，使得$(b_{1},\ldots,b_{r})x = 0$

（即B组的线性组合为零向量，要证只有$x = 0$）。

2.由题目条件$(b_{1},\ldots,b_{r}) = (a_{1},\ldots,a_{s})K$，代入上式得：$(a_{1},\ldots,a_{s})Kx = 0$。

3.因为A组线性无关，根据A组的性质（前面强调的核心性质），

由$(a_{1},\ldots,a_{s})y = 0$只能推出$y = 0$。这里$y = Kx$，因此：$Kx = 0$。

4.已知$R(K) = r$，而$K$是$s \times r$矩阵（列数为$r$）。

5.再次使用线性方程组的核心定理：

对于$m \times n$矩阵$M$，若$R(M) = n$（秩等于列数），

则齐次方程组$Mx = 0$只有零解。

这里$K$的秩$R(K) = r$（等于列数$r$），所以$Kx = 0$只有零解⇒$x = 0$。

6.这说明：由$(b_{1},\ldots,b_{r})x = 0$只能推出$x = 0$，

根据线性无关的定义，B组线性无关。

结论：充分性得证（R(K)=r⇒B线性无关）。

13 , 求下列向量组的秩 , 并求一个最大无关组

(1) a₁=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 4 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , a₂=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 9 \\ 100 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , a₃=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ - 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ - 8 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ (2) a₁=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , a₂=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 5 \\ - 6 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , a₃=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ - 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 4 \\ - 7 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

解:(1)对(a₁ , a₂ , a₃)作初等行变换 , 求它的行阶梯形

(a₁ , a₂ , a₃)=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 4 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 9 \\ 100 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ - 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ - 8 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - 2r_{1} \\ r_{3} + r_{1} \\ r_{4} - 4r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 9 \\ 82 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 19 \\ - 32 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{r}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 9 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

由此可知R(a₁ , a₂ , a₃)=2 , 并且a₁ , a₂是它的一个最大无关组

(2) (a₁ , a₂ , a₃)=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 5 \\ - 6 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ - 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 4 \\ - 7 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - 2r_{1} \\ r_{3} - r_{1} \\ r_{4} - 3r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ - 9 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 9 \\ - 18 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ - 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 5 \\ - 10 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{r}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ 9 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

由此可知R(a₁ , a₂ , a₃)=2 , 并且a₁ , a₂是它的一个最大无关组

14 , 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组

并把其余列向量用最大无关组线性表示

(1) $\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 25 \\ 75 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 75 \\ 25 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 31 \\ 94 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 94 \\ 32 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 17 \\ 53 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 54 \\ 20 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 43 \\ 132 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 134 \\ 48 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ (2) $\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 4 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

解: (1)记A=(a₁ , a₂ , a₃ , a₄)

因A=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 25 \\ 75 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 75 \\ 25 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 31 \\ 94 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 94 \\ 32 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 17 \\ 53 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 54 \\ 20 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 43 \\ 132 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 134 \\ 48 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{4} - r_{1} \\ r_{3} - r_{2} \\ r_{2} - 2r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 25 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 31 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 17 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 43 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{4} - r_{2} \\ r_{4} - r_{3} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 25 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 31 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 17 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 43 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

$$\overset{\begin{matrix} r_{1} - 17r_{3} \\ r_{2} - 2r_{3} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 25 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 31 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 9 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{r_{1} - 31r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 25 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 40 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{r_{1} \div 25}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{8}{5} \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$$

从A的行最简形可知: a₁ , a₂ , a₃是A的列向量组的一个最大无关组

且a₄=$\frac{8}{5}$a₁ - a₂ +2a₃

(2)记A=(a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , a₅)

A=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 4 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{3} - 2r_{1} \\ r_{4} - r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ - 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 5 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

$$\overset{\begin{matrix} r_{3} + r_{2} \\ r_{4} \div ( - 2) \\ r_{3} \leftrightarrow r_{4} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{1} - 2r_{3} \\ r_{2} - r_{3} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ - 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$$

$$\overset{\begin{matrix} r_{2} \div 2 \\ r_{1} - r_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$$

从A的行最简形可知: a₁ , a₂ , a₃是A的列向量组的一个最大无关组

且a₄=a₁+3a₂-a₃ , a₅=-a₂+a₃

15 , 设向量组a₁=$\begin{bmatrix} a \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ , a₂=$\begin{bmatrix} 2 \\ b \\ 3 \end{bmatrix}$ , a₃=$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ , a₄=$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$的秩为2 , 求a , b

解: 对含参数a和b的矩阵(a₃ , a₄ , a₁ , a₂)作初等行变换 , 以求其行阶梯形

(a₃ , a₄ , a₁ , a₂)=$\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a \\ 3 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ b \\ 3 \end{matrix} \right\rbrack$

$$\overset{\begin{matrix} r_{2} - 2r_{1} \\ r_{3} - r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} a \\ 3 - 2a \\ 1 - a \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ b - 4 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack\overset{r_{3} - r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} a \\ 3 - 2a \\ a - 2 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ b - 4 \\ 5 - b \end{matrix} \right\rbrack$$

故R(a₁ , a₂ , a₃ , a₄)=2 ⟺R(a₃ , a₄ , a₁ , a₂)=2⟺a-2=0且5-b=0 , 得a=2 , b=5

16 , 设向量组A: a₁ , a₂ ; B: a₁ , a₂ , a₃; C: a₁ , a₂ , a₄的秩为R_A=R_B=2 , R_C=3

求向量组D: a₁ , a₂ , 2a₃ -3a₄的秩

解:

定义法（基于线性无关性判定）

核心思路：向量组的秩是其极大线性无关组的向量个数，

需证明$a_{1},a_{2},2a_{3} - 3a_{4}$线性无关，进而得秩为3。

步骤：

1.由$R_{A} = 2$得基础性质：

向量组$A:a_{1},a_{2}$的秩为2，故$a_{1},a_{2}$线性无关，

2.由$R_{B} = 2$推导$a_{3}$的表达式：

向量组$B:a_{1},a_{2},a_{3}$的秩为2，而$a_{1},a_{2}$已线性无关，

故$a_{3}$可由$a_{1},a_{2}$线性表示（极大无关组为$a_{1},a_{2}$），

即存在常数$k_{1},k_{2}$使得：$a_{3} = k_{1}a_{1} + k_{2}a_{2}$

3.由$R_{C} = 3$推导$2a_{3} - 3a_{4}$与$a_{1},a_{2}$线性无关：

向量组$C:a_{1},a_{2},a_{4}$的秩为3，故$a_{1},a_{2},a_{4}$线性无关。

假设存在常数$x_{1},x_{2},x_{3}$使得：$x_{1}a_{1} + x_{2}a_{2} + x_{3}(2a_{3} - 3a_{4}) = 0$

将$a_{3} = k_{1}a_{1} + k_{2}a_{2}$代入上式，

整理得：$(x_{1} + 2x_{3}k_{1})a_{1} + (x_{2} + 2x_{3}k_{2})a_{2} - 3x_{3}a_{4} = 0$

因$a_{1},a_{2},a_{4}$线性无关，故系数必须全为0：$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + 2x_{3}k_{1} = 0 \\ x_{2} + 2x_{3}k_{2} = 0 \\ - 3x_{3} = 0 \end{matrix} \right.\$

解得$x_{3} = 0$，进而$x_{1} = 0,x_{2} = 0$。因此$a_{1},a_{2},2a_{3} - 3a_{4}$线性无关。

4.结论：线性无关的向量组秩等于向量个数，故$R_{D} = 3$。

17 , 设有n维向量组A: a₁ , a₂ , ⋯ , a_n

试证明它们线性无关的充要条件 是任一n维向量都可由它们线性表示

证:

方法：利用向量组秩与空间维数的关系

核心依据：n维向量空间$\mathbb{R}^{n}$的维数为n

（所有n维向量构成的空间，其基的个数为n）；

向量组的秩等于其生成子空间的维数；线性无关向量组的秩等于向量个数。

证明过程：

1.必要性（线性无关⇒任一n维向量可由A表示）

若$\mathbf{a}_{\mathbf{1}},\mathbf{a}_{\mathbf{2}},\ldots,\mathbf{a}_{\mathbf{n}}$线性无关，则向量组A的秩$R(A) = n$

（线性无关向量组的秩=向量个数）。

向量组A生成的子空间$L(\mathbf{a}_{\mathbf{1}},\ldots,\mathbf{a}_{\mathbf{n}}) \subseteq \mathbb{R}^{n}$，且子空间的维数$\dim L(A) = R(A) = n$。

因$\mathbb{R}^{n}$是n维空间，且其子空间$L(A)$也是n维，故$L(A) = \mathbb{R}^{n}$

（n维空间的n维子空间必为自身）。

因此，任一n维向量$\mathbf{\beta} \in \mathbb{R}^{n} = L(A)$，即$\mathbf{\beta}$可由$\mathbf{a}_{\mathbf{1}},\ldots,\mathbf{a}_{\mathbf{n}}$线性表示。

2.充分性（任一n维向量可由A表示⇒线性无关）

取$\mathbb{R}^{n}$的标准基$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{1}} = (1,0,\ldots,0)^{T},\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{2}} = (0,1,\ldots,0)^{T},\ldots,\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{n}} = (0,0,\ldots,1)^{T}$

（标准基是线性无关的n维向量组）。

由条件，每个$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{i}}$可由$\mathbf{a}_{\mathbf{1}},\ldots,\mathbf{a}_{\mathbf{n}}$线性表示，故向量组$\{\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{1}},\ldots,\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{n}}\}$可由A线性表示。

根据向量组秩的性质：若向量组X可由向量组Y线性表示，则$R(X) \leq R(Y)$。

因$\{\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{1}},\ldots,\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{n}}\}$线性无关，故$R(\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{1}},\ldots,\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{n}}) = n$，因此$n \leq R(A)$。

又因A是含n个向量的n维向量组，其秩$R(A) \leq n$

（向量组的秩不超过向量个数）。

故$R(A) = n$，即$\mathbf{a}_{\mathbf{1}},\ldots,\mathbf{a}_{\mathbf{n}}$线性无关（秩=向量个数的向量组线性无关）。

18 , 设向量组a₁ , a₂ , ⋯ , a_m线性相关 , 且a₁≠0

试证明存在某个向量a_k(2⩽k⩽m) , 使a_k能由a₁ , a₂ , ⋯ , a_k-1线性表示

证：由于向量组$\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\ldots,\mathbf{a}_{m}$是线性相关的，

那么一定至少存在一个不为0的系数c，使得$c_{1}\mathbf{a}_{1} + c_{2}\mathbf{a}_{2} + \cdots + c_{m}\mathbf{a}_{m} = \mathbf{0}.$

设$k$是最大的下标（$1 \leq k \leq m$）使得$c_{k} \neq 0$。

由于系数c不全为零，这样的下标$k$一定存在。

若$k = 1$，则向量组只有一个向量，表出式为$c_{1}\mathbf{a}_{1} = \mathbf{0}$，

因为向量组线性相关，需要$c_{1} \neq 0$，这样导致$\mathbf{a}_{1} = \mathbf{0}$，这与已知a₁≠0矛盾。

故向量组至少有2个向量，$k \geq 2$。

因此有表出式$c_{1}\mathbf{a}_{1} + c_{2}\mathbf{a}_{2} + \cdots + c_{k}\mathbf{a}_{k} = \mathbf{0}$成立，$其中{系数c}_{k} \neq 0.$

可解出：$\mathbf{a}_{k} = - \frac{c_{1}}{c_{k}}\mathbf{a}_{1} - \frac{c_{2}}{c_{k}}\mathbf{a}_{2} - \cdots - \frac{c_{k - 1}}{c_{k}}\mathbf{a}_{k - 1},$

即向量$\mathbf{a}_{k}$可由$\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\ldots,\mathbf{a}_{k - 1}$线性表示。且$2 \leq k \leq m$，满足要求。

所以存在某个向量a_k(2⩽k⩽m) , 使a_k能由a₁ , a₂ , ⋯ , a_k-1线性表示