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25 , (1)设A=[3−2−23]\begin{bmatrix} 3 & - 2 \\ - 2 & 3 \end{bmatrix} , 求φ(A)=A10-5A9

(2)设A=[212122221]\begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} , 求φ(A)=A10-6A9+5A8

解:(1)

解题思路

为了计算矩阵的高次幂 A¹⁰ 和 A⁹，直接逐次乘法计算效率低下。

更高效的方法是利用矩阵的对角化（如果可能），将矩阵表示为 A = PDP⁻¹，

其中 D 是对角矩阵。

这样，Aⁿ = PDⁿP⁻¹，而 Dⁿ 的计算非常简单。

步骤1：求矩阵A的特征值和特征向量

首先，计算矩阵A的特征值：

特征方程为 det(A - λI) =|3−λ−2−23−λ|=λ2−6λ+5=0\left| \begin{matrix} 3 - \lambda & - 2 \\ - 2 & 3 - \lambda \end{matrix} \right| = \lambda^{2} - 6\lambda + 5 = 0

得λ1=5,λ2=1\ \ \lambda_{1} = 5,\lambda_{2} = 1

接下来，求对应的特征向量：

1. 对于 λ₁ = 5：(A−5I)v=[−2−2−2−2][v1v2]=0(A - 5I)v = \begin{bmatrix} - 2 & - 2 \\ - 2 & - 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix} = 0

可以得到 v₁ = -v₂，因此一个特征向量是v1=[1−1]v_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ - 1 \end{bmatrix}

2. 对于 λ₁ =1：(A−I)v=[−2−2−2−2][v1v2]=0(A - I)v = \begin{bmatrix} - 2 & - 2 \\ - 2 & - 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix} = 0

可以得到 v₁ = v₂，因此一个特征向量是v2=[11]v_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

步骤 2：矩阵的对角化

构造矩阵 P 和D：P=[11−11],D=[5001]P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{bmatrix},\quad D = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}，得P−1=12[1−111]P^{- 1} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}

验证 A = PDP⁻¹=[11−11][5001]⋅12[1−111]=[3−2−23]= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & - 2 \\ - 2 & 3 \end{bmatrix}

步骤3: 计算 Aⁿ

利用对角化: An=PDnP−1=[11−11][5n001n]⋅12[1−111]{\ A}^{n} = PD^{n}P^{- 1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5^{n} & 0 \\ 0 & 1^{n} \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}

计算 A¹⁰ 和 A⁹：

A10=[11−11][510001]⋅12[1−111]=12[510+1−510+1−510+1510+1]A^{10} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5^{10} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 5^{10} + 1 & - 5^{10} + 1 \\ - 5^{10} + 1 & 5^{10} + 1 \end{bmatrix}

A9=[11−11][59001]⋅12[1−111]=12[59+1−59+1−59+159+1]A^{9} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5^{9} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 5^{9} + 1 & - 5^{9} + 1 \\ - 5^{9} + 1 & 5^{9} + 1 \end{bmatrix}

步骤4：计算φ(A) = A¹⁰ - 5A⁹

将A¹⁰和5A⁹代入：φ(A)=12[510+1−510+1−510+1510+1]−52[59+1−59+1−59+159+1]\varphi(A) = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 5^{10} + 1 & - 5^{10} + 1 \\ - 5^{10} + 1 & 5^{10} + 1 \end{bmatrix} - \frac{5}{2}\begin{bmatrix} 5^{9} + 1 & - 5^{9} + 1 \\ - 5^{9} + 1 & 5^{9} + 1 \end{bmatrix}

注意到 5¹⁰ = 5⋅5⁹，因此：

φ(A)=12[510+1−510−5−510+1+510−5−510+1+510−5510+1−510−5]\varphi(A) = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 5^{10} + 1 - 5^{10} - 5 & - 5^{10} + 1 + 5^{10} - 5 \\ - 5^{10} + 1 + 5^{10} - 5 & 5^{10} + 1 - 5^{10} - 5 \end{bmatrix}

=12[−4−4−4−4]=[−2−2−2−2]= \frac{1}{2}\begin{bmatrix} - 4 & - 4 \\ - 4 & - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 2 & - 2 \\ - 2 & - 2 \end{bmatrix}

(2)解题思路

为了计算矩阵的高次幂 A¹⁰、A⁹ 和 A⁸，直接逐次乘法计算效率低下。

更高效的方法是利用矩阵的对角化（如果可能），

将矩阵表示为 A = PΛP⁻¹，其中 Λ 是对角矩阵。

这样，Aⁿ = PΛⁿP⁻¹，而 Λⁿ 的计算非常简单。

步骤1：求矩阵A的特征值

|A-λE|=|2−λ1212−λ2221−λ|\left| \begin{matrix} 2 - \lambda & 1 & 2 \\ 1 & 2 - \lambda & 2 \\ 2 & 2 & 1 - \lambda \end{matrix} \right|=(1−λ)(1+λ)(λ−5)(1 - \lambda)(1 + \lambda)(\lambda - 5)=0

于是A的特征值λ1=1,λ2=5,λ3=−1\lambda_{1} = 1\ ,\ \lambda_{2} = 5\ ,\ \lambda_{3} = - 1

步骤 2：求特征向量

1. 对于 λ₁ = 1：A−I=[112112220]A - I = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{bmatrix}，解 (A - I)v = 0：得特征向量v1=[−110]v_{1} = \begin{bmatrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

2. 对于 λ2 = 5：A−5I=[−3121−3222−4]A - 5I = \begin{bmatrix} - 3 & 1 & 2 \\ 1 & - 3 & 2 \\ 2 & 2 & - 4 \end{bmatrix}，解 (A - 5I)v = 0：得特征向量v2=[111]v_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}

3. 对于 λ3 = -1：A+I=[312132222]A + I = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}，解 (A + I)v = 0：得特征向量v3=[−1−12]v_{3} = \begin{bmatrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{bmatrix}

步骤3: 计算A

由特征值和特征向量得:

Λ=[10005000−1]\Lambda = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{bmatrix} ， P=[−11−111−1012],P−1=16[−330222−1−12]P = \begin{bmatrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix},\quad P^{- 1} = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} - 3 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{bmatrix}

A = PΛP⁻¹=[−11−111−1012][10005000−1]16[−330222−1−12]= \begin{bmatrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{bmatrix}\frac{1}{6}\begin{bmatrix} - 3 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{bmatrix}

步骤4: 计算 Aⁿ

An=PΛnP−1=[−11−111−1012][1n0005n000(−1)n]⋅16[−330222−1−12]{\ A}^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1} = \begin{bmatrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1^{n} & 0 & 0 \\ 0 & 5^{n} & 0 \\ 0 & 0 & {( - 1)}^{n} \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{6}\begin{bmatrix} - 3 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{bmatrix}

步骤5:计算 A¹⁰、6A⁹和5A8：

A10=PΛ10P−1=[−11−111−1012][110000510000(−1)10]⋅16[−330222−1−12]{\ A}^{10} = P\Lambda^{10}P^{- 1} = \begin{bmatrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1^{10} & 0 & 0 \\ 0 & 5^{10} & 0 \\ 0 & 0 & {( - 1)}^{10} \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{6}\begin{bmatrix} - 3 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{bmatrix}

6A9=6PΛ9P−1=6×[−11−111−1012][1900059000(−1)9]⋅16[−330222−1−12]{6\ A}^{9} = 6P\Lambda^{9}P^{- 1} = 6 \times \begin{bmatrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1^{9} & 0 & 0 \\ 0 & 5^{9} & 0 \\ 0 & 0 & {( - 1)}^{9} \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{6}\begin{bmatrix} - 3 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{bmatrix}

=[−11−111−1012][1900059000(−1)9][−330222−1−12]= \begin{bmatrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1^{9} & 0 & 0 \\ 0 & 5^{9} & 0 \\ 0 & 0 & {( - 1)}^{9} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} - 3 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{bmatrix}

5A8=5PΛ8P−1=5×[−11−111−1012][1800058000(−1)8]⋅16[−330222−1−12]P\Lambda^{8}P^{- 1} = 5 \times \begin{bmatrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1^{8} & 0 & 0 \\ 0 & 5^{8} & 0 \\ 0 & 0 & {( - 1)}^{8} \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{6}\begin{bmatrix} - 3 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{bmatrix}

=[−11−111−1012][1800058000(−1)8]⋅56[−330222−1−12]= \begin{bmatrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1^{8} & 0 & 0 \\ 0 & 5^{8} & 0 \\ 0 & 0 & {( - 1)}^{8} \end{bmatrix} \cdot \frac{5}{6}\begin{bmatrix} - 3 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{bmatrix}

步骤6: 计算A¹⁰ - 6A⁹ + 5A⁸

A¹⁰ - 6A⁹ + 5A⁸ = P·Λ¹⁰·P⁻¹ - P·6Λ⁹·P⁻¹ + P·5Λ⁸·P⁻¹ = P·(Λ¹⁰ - 6Λ⁹ + 5Λ⁸)·P⁻¹

=P⋅([110000510000(−1)10]−6[1900059000(−1)9]+5[1800058000(−1)8])⋅P⁻¹= P \cdot \left( \begin{bmatrix} 1^{10} & 0 & 0 \\ 0 & 5^{10} & 0 \\ 0 & 0 & ( - 1)^{10} \end{bmatrix} - 6\begin{bmatrix} 1^{9} & 0 & 0 \\ 0 & 5^{9} & 0 \\ 0 & 0 & ( - 1)^{9} \end{bmatrix} + 5\begin{bmatrix} 1^{8} & 0 & 0 \\ 0 & 5^{8} & 0 \\ 0 & 0 & ( - 1)^{8} \end{bmatrix} \right) \cdot P⁻¹

=P⋅[110−6⋅19+5⋅18000510−6⋅59+5⋅58000(−1)10−6⋅(−1)9+5⋅(−1)8]⋅P⁻¹= P \cdot \begin{bmatrix} 1^{10} - 6 \cdot 1^{9} + 5 \cdot 1^{8} & 0 & 0 \\ 0 & 5^{10} - 6 \cdot 5^{9} + 5 \cdot 5^{8} & 0 \\ 0 & 0 & ( - 1)^{10} - 6 \cdot ( - 1)^{9} + 5 \cdot ( - 1)^{8} \end{bmatrix} \cdot P⁻¹

=P⋅[0000000012]⋅P⁻¹= P \cdot \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix} \cdot P⁻¹

=[−11−111−1012][0000000012][−330222−1−12]= \begin{bmatrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} - 3 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{bmatrix}

=[22−422−4−4−48]= \begin{bmatrix} 2 & 2 & - 4 \\ 2 & 2 & - 4 \\ - 4 & - 4 & 8 \end{bmatrix}

26.用矩阵记号表示二次型:

(1) f=x2+4xy+4y2+2xz+z2+4yz

(2) f=x2+y2-7z2-2xy-4xz -4yz

(3)f=x12x_{1}^{2}+x22x_{2}^{2}+x32x_{3}^{2}-2x1x2+6x2x3

解: (1)

设 x =[xyz]\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} ，二次型矩阵𝐴的元素𝑎ᵢⱼ（𝑖,𝑗=1,2,3）确定规则为：

𝑥ᵢ²的系数为𝑎ᵢᵢ，𝑥ᵢ𝑥ⱼ（𝑖≠𝑗）系数的一半分别为𝑎ᵢⱼ和𝑎ⱼᵢ。

对角线元素​​（平方项系数）：

𝑥² 的系数为 1 ⇒ 𝑎₁₁ = 1

𝑦² 的系数为 4 ⇒ 𝑎₂₂ = 4

𝑧² 的系数为 1 ⇒ 𝑎₃₃ = 1

非对角线元素​​（交叉项系数的一半）：

𝑥𝑦 的系数为 4 ⇒ 𝑎₁₂ = 𝑎₂₁ =42\frac{4}{2}= 2

𝑥𝑧 的系数为 2 ⇒ 𝑎₁₃ = 𝑎₃₁ =22\frac{2}{2}= 1

𝑦𝑧 的系数为 4 ⇒ 𝑎₂₃ = 𝑎₃₂ = 42\frac{4}{2} = 2

那么二次型的矩阵A=[121242121]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} ,

用矩阵记号表示为xTAx=[xyz][121242121][xyz]x^{T}Ax = \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}

(2) 对于 f = x² + y² - 7z² - 2xy - 4xz - 4yz

设 x =[xyz]\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}，按照上述规则确定矩阵A的元素：

x²的系数为1，所以 a₁₁ = 1；

y²的系数为1，所以 a₂₂ = 1；

z²的系数为-7，所以 a₃₃ = -7；

xy系数为-2，则 a₁₂ = a₂₁ = −22\frac{- 2}{2} = -1；

xz系数为-4，则 a₁₃ = a₃₁ = −42\frac{- 4}{2} = -2；

yz系数为-4，则 a₂₃ = a₃₂ = −42\frac{- 4}{2}= -2。

那么二次型的矩阵A=[1−1−2−11−2−2−2−7]\begin{bmatrix} 1 & - 1 & - 2 \\ - 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 2 & - 7 \end{bmatrix} ,

用矩阵记号表示为xTAx=[xyz][1−1−2−11−2−2−2−7][xyz]x^{T}Ax = \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & - 1 & - 2 \\ - 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 2 & - 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}

(3) 对于 f = x₁² + x₂² + x₃² - 2x₁x₂ + 6x₂x₃

设 x = [x1x2x3]\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}，确定矩阵A的元素：

x₁²的系数为1，所以 a₁₁ = 1；
x₂²的系数为1，所以 a₂₂ = 1；
x₃²的系数为1，所以 a₃₃ = 1；
x₁x₂系数为-2，则 a₁₂ = a₂₁ = −22\frac{- 2}{2} = -1；

x₁x₃系数为0，则 a₁₃ = a₃₁ = 0= 0；
x₂x₃系数为6，则 a₂₃ = a₃₂ = 62\frac{6}{2} = 3。

那么二次型的矩阵A=[1−10−113031]\begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix} ,

用矩阵记号表示为xTAx=[xyz][1−10−113031][xyz]x^{T}Ax = \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}

27 , 写出下列二次型的矩阵:(方阵对称化)

(1) f(x)=xT[2131]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}x (2) f(x)=xT[123456789]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}x

解: (1) 记x=[x1x2]\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} , 则f(x)=(x1 , x2)[2131][x1x2]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}

=2x12x_{1}^{2}+x22x_{2}^{2}+x1x2+3x2x1=2x12x_{1}^{2}+x22x_{2}^{2}+4x1x2=(x1 , x2)[2221][x1x2]\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}

故二次型f的矩阵为[2221]\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}

(2)记x=[x1x2x3]\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} , 则f(x)=[x1,x2,x3][123456789][x1x2x3]\begin{bmatrix} x_{1}\ \ , & x_{2}\ \ \ , & x_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}

= x₁² + 5x₂² + 9x₃² + 6x₁x₂ + 10x₁x₃ + 14x₂x₃

=[x1,x2,x3][135357579][x1x2x3]\begin{bmatrix} x_{1}\ \ , & x_{2}\ \ \ , & x_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \\ 5 & 7 & 9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}

故二次型f的矩阵为[135357579]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \\ 5 & 7 & 9 \end{bmatrix}