微积分基本概念

函数极限和极限值的定义：

当函数f(x)的自变量x趋近于某个数a，自变量x绝对值无限增大时，

其因变量趋近于一个常数A ,则称这种变化趋势为函数极限，

称常数A为函数f(x)在x=a处或自变量x绝对值无限增大时的极限值。

通常表示为： $\underset{\text{x → a}}{\text{lim}}\text{\hspace{0.17em}f(x)=A}$ ， $\underset{x\to \infty }{lim}f(x)=A$

其中数a不一定在函数定义域内

函数极限也是一种运算，即求函数极限的过程叫函数的极限运算

如果函数f(x)在自变量x趋近于某个数a或x绝对值无限增大时，

其因变量并不趋近于任何单一的常数，

则称函数f(x)在x=a处或x绝对值无限增大时没有极限值。

没有极限值的情况：

1、因变量在x=a的左右两侧有不同的极限值

2、因变量振荡，没有明确的变化趋势。

3、因变量绝对值无限增大时

当函数在某个趋近过程中，极限值为0，则称此函数为无穷小

设q(x)和w(x)是当x趋向x0时的无穷小，且q(x)≠0

如果 $\underset{x\to \mathrm{x₀}}{lim}\frac{\mathrm{w(x)}}{\mathrm{q(x)}}=0$ ，则称当x趋向x₀时 , w(x)比q(x)高阶的无穷小

常用极限和极限值有 : $\underset{x\to \infty }{lim}\frac{1}{x}=0,\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1,\underset{x\to \infty }{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e$

利用常用函数极限的结果去求复杂函数极限， 这是一种求极限的基本且重要的方法。

直线函数的导数：

直线函数的导数就是因变量改变量与自变量改变量的比值，表示为 $f^{\prime }\text{(}{x}_0\text{)}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

对于直线函数，任意x点的导数为同一个值， 即 f'(x₀) = f'(x₀₊₁) = … = f'(x₀₊ₙ) = f'(xₙ)

曲线函数的导数：

曲线函数的导数用直线函数的导数代替

前提条件就是Δx必须很小，即Δx趋于零

表达式为： $f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{g(x_0+\mathrm{\Delta }x)-g(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=g^{\prime }(x_0)$

对于曲线函数，每个x点导数不相等 , 即f'(x₀) ≠ f'(x₀₊₁) ≠ … ≠ f'(x₀₊ₙ) ≠ f'(xₙ)

因为直线函数是一种特殊曲线函数，所以和曲线函数一起把 导数统一定义为以下形式

导数就是当函数自变量的改变量趋近0时， 函数因变量增量与自变量增量之比的极限，

表达式为： $f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

函数在某x点的导数也叫点导数，即 $f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$

函数在某x区间所有点导数的集合叫导函数，即 $f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

微分定义：

微分就是函数因变量在某自变量x点处的微小增量,用dy表示

直线函数的微分:

因为直线函数在任意x点的导数为同一个值

所以直线函数的微分就是直线函数的点导数与自变量的改变量的乘积

表达式为: dy = Δy = g′(x₀) Δx

曲线函数的微分:

曲线函数f(x)的微分就是用直线函数g(x)的微分近似代替。

前提条件是曲线函数f(x)在x₀的导数与直线函数g(x)在x₀的导数必须相等。

并且Δx必须很小，即Δx趋于零。

表达式为dy=g'(x₀)Δx=Δy-o(Δx)=Δy-0≈f'(x₀)Δx

其中o(Δx)是当Δx趋向于0时比Δx高阶的无穷小，即 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{o(\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}=0$

因为直线函数是一种特殊的曲线函数，

所以直线函数的微分与曲线函数的微分用统一形式表达，即dy=f'(x₀)Δx

因为自变量x也是一种函数，那么x的导数x'=1，

x的微分dx=x'Δx=1×Δx=Δx

所以直线函数的微分与曲线函数的微分用统一形式表达，即dy=f'(x₀)dx